¡En 2025, las conjeturas matemáticas se mueven!

A priori, 2025 no es una cifra concreta. El cuadrado de 45, admite quince divisores, forma parte por tanto de los números compuestos, pero no es ni primo ni palíndromo ni perfecto ni Fibonacci. Por otro lado, el año 2025 podría ser importante para las matemáticas y, por qué no, marcar el fin de décadas y a veces siglos de espera de grandes conjeturas. Porque en este ámbito hay algo nuevo.

A principios de este mes, un matemático de la Universidad de Rutgers en Nuevo Brunswick, Pham Tiep, logró resolver dos problemas abiertos que datan de hace más de sesenta años, incluida la conjetura de Brauer. Lo cual puede parecer reciente en comparación con otras conjeturas, como la vinculada a números primos gemelosabierto desde hace más de dos milenios y que estipula que existe una infinidad de números primos separados por dos unidades. Uno de los problemas resueltos por Tiep fue planteado por Richard Brauer en 1955 y se refiere a la teoría de grupos finitos. En pocas palabras, Tiep ha descubierto una regla oculta que nos ayuda a comprender mejor la organización y las simetrías en la naturaleza y la ciencia. Pero esta noticia puede ser sólo una muestra de lo que se avecina.

El Santo Grial de las Matemáticas

Efectivamente, también hay algo nuevo en relación con el Santo Grial de las matemáticas, el Everest de la investigación: el inaccesible hipótesis de riemann. Por supuesto, esto no está resuelto ni probado (si así hubiera sido, incluso los informativos de televisión habrían hablado de ello), pero, sin embargo, hay un gran avance al respecto. La fama de la hipótesis de Riemann radica en su relación con la distribución de los números primos. Demostrarlo sería demostrar que detrás de ellos hay un orden oculto. Su formulación, sin embargo, es extremadamente difícil. Se trata de los ceros de una función (es decir, de los valores donde se desvanece) –la función zeta de Riemann, por no nombrarla– y de la parte real de esos ceros, que se supone que son siempre iguales, es decir, ½. , estigmatizando su distribución en la misma línea. La relación con la primera reside en el hecho de que la famosa función zeta (suma infinita) se puede relacionar con un producto que también es infinito respecto de todos los números primos.

Infinito y continuo

La novedad es obra de dos investigadores, James Maynard (que también es el matemático que determinó la brecha más pequeña reproduciéndose infinitamente entre dos números primos consecutivos) y Larry Guth, quienes reformularon todo el problema. Suponiendo que si un cero de la función zeta tiene una parte real distinta de 1/2, entonces debería estar asociado a un polinomio de Dirichlet llevando un valor muy alto. Por lo tanto, les quedaba demostrar que dichos polinomios en el presente caso no pueden adoptar un valor tan grande. ¿Han sentado los dos hombres las bases para una futura manifestación? Queremos decir que sí, sobre todo porque su método recuerda al deAndres Wilesquien demostró el último teorema de Fermat en 1994 después de más de 350 años utilizando herramientas matemáticas (curvas elípticas y formas modulares) a priori ajenas a la teoría de números. Pero las cosas también se están tambaleando por el lado de la hipótesis del continuo, que tiene la particularidad de ser el primer problema de la La lista de Hilbert. y habiendo resultado indecidible en 1963.

¿Estamos seguros? No, exactamente. Esta hipótesis, que requiere además un importante bagaje matemático para ser comprendida, cuestiona la existencia de un conjunto cuyo cardinal (número que sirve para medir el tamaño de los conjuntos) se situaría entre el de los números enteros naturales y el de los números reales, ambos infinito. Diferentes manifestaciones, incluida una, famosa, de Kurt Godel en 1938, devuelva las soluciones a la hipótesis una tras otra. De ahí su indecidibilidad. En otras palabras, que sea verdadero o falso no tiene relación con la teoría de conjuntos de la que depende. De acuerdo a Georg Cantorpadre de los números transfinitos y las teorías que de ellos resultan, debe ser verdadera o falsa, cualquier otra alternativa tendiente a demostrar que la comprensión que podemos tener sobre el infinito es artificial. Más simplemente, la indecidibilidad no resuelve la cuestión del infinito.

Debatido recientemente en sitios y revistas, el problema está, por tanto, sobre la mesa. ¿Le seguirán otros acertijos matemáticos? En la lista de Hilbert establecida en 1900 y citada anteriormente, quedan cinco sin resolver, además de algunos parcialmente resueltos. Esto sin contar las conjeturas fuera de esta lista (la existencia o no de nombres de Lychrella conjetura de Siracusaetc). Todos ellos tienen un precio, recuerda. Esperamos poder volver a hablar de ello pronto.

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